Найдите наименьшее значение функции y=(x–8)^2(x–1)+10 на отрезке [6; 14]

Для нахождения наименьшего значения функции y=(x–8)^2(x–1)+10 на заданном отрезке, необходимо для начала найти производную функции, которая будет выглядеть следующим образом:

y’ = 2(x–8)(x–1) + (x–8)² = 3x²–34x+80

Приравниваем к нулю полученное выражения, чтобы найти точки.

3x²–34x+80 = 0 (типичное квадратное уравнение, которое решается с помощью дискриминант)

x = 8, x = 10/3 (вторая точка не подходит, так как не входит в заданный отрезок)

Далее, используя метод интервалов, мы находим, что до точки 8 функция убывает, а дальше опять начинает расти. Следовательно, точка 8 и буде являться точкой минимума функции y=(x–8)2(x–1)+10. Значит, y_min = y(8) = (8–8)²(8–1) + 10 = 10

10 ; точка 8