Решите уравнение cos25x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0
Условие данной задачи звучит следующим образом:
а) Решите уравнение cos25x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0
б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2016π; 2017π].
Это типичная задача из 13 номера профильной математики ЕГЭ. Решаем для начала уравнение.
Здесь явная замена
cos 5x = a
sin(x–(π/10))=b
Получаем выражение: a2+2a·b+1
Прибавляем и вычитаем b: a2+2ab+b2–b2+1
Преобразуем обратно и выделим квадрат: (сos5x+sin(x–(π/10))2+1–sin2(x–(π/10))=0
Существует правило правило:1–sin2(x–(π/10))=сos2((x–(π/10))
Получаем: (сos5x+sin(x–(π/10))2+cos2(x–(π/10))=0
Оба эти выражения не отрицательны, так как квадрат. А сумма квадратов равна нулю только в случае, если оба выражения равны нулю.
{сos5x+sin(x–(π/10))=0
{cos(x–(π/10))=0
Помним, что cos5x=sin((π/2)–5x), то
sin((π/2)–5x)+sin(x–(π/10))=0
2·sin((2π/10)–2x)·cos((3π/10)–3x)=0
sin((2π/10)–2x)=0 или cos((3π/10)–3x)=0
Следует помнить, что синус функция нечетная, а косинус — четная.
–sin(2х–(2π/10))=0 ⇒ 2х–(2π/10)=πk, k ∈ Z ⇒
2x=(π/5)+πk, k ∈ Z ⇒ x=(π/10)+(π/2)·k, k ∈ Z
cos(3x–(3π/10))=0 ⇒ 3х–(3π/10)=(π/2)+πn, n ∈ Z ⇒
3x=(3π/10)+(π/2)+πm, m ∈ Z ⇒
x=(π/10)+(π/6)+(π/3)·m, m ∈ Z ⇒
x=(4π/15)+(π/3)·m, m ∈ Z
Приступаем к решению второго уравнения
cos(x–(π/10))=0
x–(π/10)=(π/2)+πn, n ∈ Z
⇒ х=(π/10)+(π/2)+πn, n ∈ Z
х=(6π/10)+πn, n ∈ Z
Решение системы
{ x=(π/10)+(π/2)·k, k ∈ Z или =(4π/15)+(π/3)·m, m ∈ Z
{ x=(6π/10)+πn, n ∈ Z
Значит это и будет корнем уравнения cos25x+2cos5xsin(x–π/10)+1=0
Подставляем полученное выражение в указанный промежуток (использование тригонометрического круга нерационально из-за больших чисел):
2016π < (6π/10)+πn < 2017π
2016 < (6/10)+n < 2017
20160 < 6+10n < 20170
20154 < 10n < 20164
n=2016
(6π/10)+π·2016=(20166/10)π ∈ [2016π; 2017π]
x=(6π/10)+πn, n ∈ Z и (20166/10)π