Решите уравнение (sin2x+2sinx)/(1–cosx) = 2(1+cosx)

Необходимо решить уравнение (sin²x+2sinx)/(1–cosx) = 2(1+cosx) и найти все его значения на отрезке [–π/2; 3π/2]. В общем задание выглядит так:

a) Решите уравнение (sin²x+2sinx)/(1–cosx) = 2(1+cosx)

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [–π/2; 3π/2]

Для начала пишем ОДЗ, так как присутствует дробь.

Область допустимых значений: 1–сosx≠0
cosx≠1
x≠2πk, k∈Z

Домножаем, избавляясь от дроби sin²x+2sinx=2(1+cosx)(1–cosx)
Получаем разность квадратов sin²x+2sinx=2(1–cos²x)
Применяем правило 1–cos²x=sin²x
sin²x–2sinx=0
sinx·(sinx–2)=0
sinx=0  x=πn, n ∈ Z, но так как есть одз, то х=π+2πm m ∈ Z

sinx –2=0 — нет корней, так как синус может быть равен от -1 до 1.

Значит корнем уравнения (sin2x+2sinx)/(1–cosx) = 2(1+cosx) будет sinx=0  x=πn

б) На указанном отрезке [–π/2; 3π/2] будет лишь одна точка π