Решите уравнение cos2x+4cos23x+4cos3xcosx–6cosx–12cos3x=–9

Данная задача входит во вторую часть профильной математики ЕГЭ (номер 13). Её условие звучит следующим образом:

1. а) Решите уравнение cos²x+4cos²3x+4cos3xcosx–6cosx–12cos3x=–9
2. б) Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2015π; 2017π]

Для начала выделим полный квадрат из заданного выражения

cos²x+4cos²3x+4cos3x·cosx=(cosx+2cos3x)²

Из второй части выносим 6 за скобку. Получаем выражение:

(cosx+2cos3x)²–6·(cosx+2cos3x)+9=0

По формуле квадрата разности:

Обе части под корень (опускаем квадрат): (cosx+2cos3x–3)²=0
cosx+2cos3x–3=0
cosx+2cos3x=3

Из-за того, что косинус максимально может быть равен единице, данное выражение возможно в случае, если первая часть равна единице, а вторая 2. 1+2=3

{cosx=1
{2cos3x=2

{cosx=1 ⇒ x=2πk, k ∈ Z
{cos3x=1⇒ 3x=2πn, n ∈ Z ⇒ x=(2π/3)n, n ∈ Z — не удовлетворяет системе

Значит, только x=2πk будет удовлетворять выражению cos2x+4cos23x+4cos3xcosx–6cosx–12cos3x=–9

б) Заданному промежутку принадлежит только число х=2016π

x=2πk, k ∈ Z

2016π