Решить неравенство logx(x–3)/(logx2(5–x)–1) ≥ 0

Для начала найдем ОДЗ неравенства log_x(x–3)/(log_x²(5–x)–1) ≥ 0, так как есть логарифмы:

{x–3 > 0
{5–x > 0
{x > 0; x≠1 (аргумент логарифма больше 0 и не равен одному)
{log_x²(5–x)–1≠0 (так как знаменатель)

В общем получаем x∈(3;5)

У нас дробь будет больше или равна нулю только в случае, если знаменатель и числитель будут с одним знаком. Причем для знаменателя неравенство строгое, так как неравно 0.

1){log_x(x–3) ≥ 0
{log_x²(5–x)–1 > 0

{x–3≥1
{5–x > x²

{x≥4
{x²+x–5 < 0 D=1+20=21
корни (–1±√21)/2

В любом случае это не подходит по нашему ОДЗ, здесь нет корней.

2){log_x(x–3) ≤ 0
{log_x²(5–x)–1 < 0

{x–3≤1
{5–x < x²

{x≤4
{x²+x–5 > 0 D=1+20=21
корни (–1±√21)/2
x∈ (–∞;–1–√21)/2)U(–1+√21)/2;4]

Рисуем прямую, отмечаем точки и находим отрезок х∈(3;4], что и будет правильным ответом.

х∈(3;4]