Решите уравнение sin22x−2sin2x·cos4x+1=0

Данная задача входит в экзамен по профильной математике ЕГЭ. Её номер 13. Полностью условие задачи звучит следующим образом:

• Решите уравнение sin²2x−2sin2x·cos4x+1=0.
• Найдите решения уравнения, принадлежащие промежутку [2016π;2017π].

Так как cos4x=1–2sin²x выражение sin22x−2sin2x·cos4x+1=0 принимает вид:

sin²2x–2sin2x·(1–2sin²2x)+1=0

При sin2x=–1 равенство верно,
значит левую часть раскладываем на множители
(sin2x+1)·(4sin²2x–3·sin2x+1)=0

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

sin2x+1=0

4sin²2x–3sin2x+1=0

sin2x=–1 или D=9–4·4 < 0 — нет корней
2x=(–π/2)+2πk, k ∈ Z
x=(–π/4)+πk, k ∈ Z

Для нахождения точки помещаем полученное выражение в отрезок:
2016π < (– π/4)+π·k < 2017π

2016 < (–1/4) + k < 2017
8064 < –1+4k < 8068
8065 < 4k < 8069
2016,25 < k < 2017,25
k=2017

х=8067π/4

Правильный ответ звучит следующим образом:

(– π/4)+π·k

х=8067π/4