Решите уравнение tgx+ctgx=2 и найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [π; 3π]
Решить данное уравнение можно простым способом.
Запишем ОДЗ:
- tgx=sinx/cosx; x≠ (π/2)+ πk, k ∈ Z
- ctgx=cosx/sinx; x≠ πn, n ∈ Z
Представить тангенс и котагенс как отношения синусов и косинусов. Сразу же Приводём к общему знаменателю:
(sin2x+cosx)/(sinxcosx)=2
В числителе будет 1 по основному тригонометрическому тожеству.
1/(sinxcosx)=2
sinxcosx=1/2 (умножим на 2 обе части)
2sinxcosx=1
Вспомним популярную формулу sin2x=2sinxcosx
sin2x=1
2x=(π/2)+2πm, m∈Z
x=( π/4)+πm, m∈Z (мы разделили на два, так как выше был двойной угол)
На указанном промежутке будет две точки 5π/4 и 9π/4.
x=( π/4)+πm, m∈Z; 5π/4 и 9π/4